Set Theory part-1 (समुच्चय सिध्दान्त भाग-1)

Set theory (समुच्चय सिध्दान्त)-

गणित की वह शाखा जिसके अन्तर्गत समुहो का अध्ययन किया जाता है समुच्चय सिध्दान्त कहलाता है |

समुच्चय सिध्दान्त का विकाश उन्नसवीं शताब्दी के अन्त में जर्मन के वैज्ञानिक जार्ज कैंटर ने किया था |

Definition of set (समुच्चय की परिभाषा)-

वस्तुओं के सुनिश्चित (definite) एवं सुस्पष्ट (distinct) सग्रह को समुच्चय कहते हैं |

सुनिश्चित होने का विशेष अर्थ यह है कि वह element  समुह में हैं अथवा नही |

एक example  के अनुसार हम समझते है किसी कक्षा के अच्छे student  की समुह समुच्चय नही होगा, क्योकी कोई student  अच्छा है या नही यह पूर्णतः स्पष्ट रूप से नही कहा जा सकता है । लेकीन प्रथम पाँच धन विषम सख्याओ का समुच्चय तो पूर्णतः परिभाषित है क्योकी इसके element  1,3,5,7,9  हैं ।

इसी प्रकार सुस्पष्ट होने का अर्थ यह है कि किसी भी समुह में दो या दो से अधिक element    समान नही होने चाहिए । अर्थात् किसी समुह के element(  u,u,o,o,o,o,p,p,p)  की सुस्पष्टता {u,o,p} है ।

Condition of being set-(समुच्चय होने की दशा)

1.       समुह सुनिश्चित होना चाहिए

2.       समुह सुस्पष्ट होना चाहिए

3.       समुह सजातिय होना आवश्यक नही ।

Element of set (समुच्चयो के अवयव)-

जिस वस्तु या पद से मिलकर समुच्चय बनता है उसे समुच्चय का element कहते है।

Example-

1.       शून्य से सौ तक की सख्याओ का समुच्चय

2.       धन पूर्णांक सख्याओ का समुच्चय

3.       पूर्ण वर्ग सख्याओ का समुच्चय

4.       अभाज्य संख्याओ का समुच्चय

Set notation (समुच्चय संकेतन)-

सामान्यत: समुच्चय के संकेतन के लिए हम अंग्रेजी के वर्णमाला का प्रयोग करते है  अंग्रेजी वर्णमाला में  अंग्रेजी के बड़े अक्षर का प्रयोग करते है  तथा उनके अवयव को अंग्रेजी के छोटे अक्षर से लिखते है।

For example-  A,B,C,………………………………Z  समुच्चय का निरूपण करते है l तथा a,b,c,……………………….z

समुच्चय के अवयव का निरूपण करते है  इस प्रकार हम कह सकते है की यदि x , set  A  का अवयव है तो

x ꜫ A लिख सकते हैं ।  ꜫ का अर्थ element  से है।