Set Theory Part-8(समुच्चय सिध्दान्त भाग-8)

Some Important result of Sets(समुच्चयो के कुछ महत्वपूर्ण परिणाम)-

1.        यदि A कोई समुच्चय है तो (A^’)^’=A होगा अर्थात् समुच्चय A के पूरक का पूरक समुच्चय A ही होगा।

2.        यदि दो समुच्चय A और B इस प्रकार है कि- A⊆B

A⊆B=B^’ ⊆A^’    होगा

3.       यदि दो समुच्चय A और B है तो हम इसे इस प्रकार भी लिख सकते हैं।

A-B=AՈB^’

4.       यदि दो समुच्चय A और B है तो हम इसे इस प्रकार भी लिख सकते हैं।

A-B=B^’-A^’

5.       यदि A,B, और C तीन समुच्चय है तो-

A-(BՍC)=(A-B)Ո(A-C)

6.       यदि A,B, और C तीन समुच्चय है तो-

A-(BՈC)=(A-B)Ս(A-C)

7.       यदि दो समुच्चय A और B है तो हम इसे इस प्रकार भी लिख सकते हैं।

P(A)ՍP(B) ⊆P(AՍB)  जहाँ P(A) को हम समुच्चय A  का घात समुच्चय कहते हैं। इसी प्रकार P(B) को भी ।

8.       यदि दो समुच्चय A और B है तो हम इसे इस प्रकार भी लिख सकते हैं।

P(A)ՈP(B) =P(AՍB)  जहाँ P(A) को हम समुच्चय A  का घात समुच्चय कहते हैं। इसी प्रकार P(B) को भी ।

9.       यदि दो समुच्चय A और B है तो हम इसे इस प्रकार भी लिख सकते हैं।

10.     AՈ(A’ՈB)=AՈB

11.     A-(A-B)=AՈB

12.     AՈ(AՍB)’=Ф

13.     A-B=A▲(AՈB)

परिमित समुच्चयो में अवयवो की संख्या से संम्बधित कुछ सूत्र-

·         यदि U एक समष्टीय समुच्चय है तथा A एक परिमित समुच्चय है than                                                                                            n(A^’)=n(U)-n(A)

·         यदि A और B  कोई दो परिमित समुच्चय है तो                                                         n(AՍB)=n(A)+n(B)-n(AՈB)

·         यदि A और B कोई दो परिमित तथा विसंगघीत समुच्चय है तो                                                     (AՈB)=Ф               è            n(AՈB)=n(Ф)=0                                                                                                    तब हम इसे इस प्रकार लिख सकते है कि n(AՍB)=n(A)+n(B)

·         यदि A और B कोई दो परिमित समुच्चय है तो                                                         n(A-B)=n(AՈB^’)=n(A)-n(AՈB)=n(AՍB)-n(B)

·         यदि A और B कोई दो परिमित समुच्चय है तो दोनो समुच्चय में से ठीक-ठीक केवल एक समुच्चय में अवयवो की संख्या n(A▲B)=n(A-B)+n(B-A)=n(AՍB)-n(AՈB)=n(A)+n(B)-2n(AՈB)

·         यदि U परिमित समष्टीय समुच्चय है तथा A और B कोई दो परिमित समुच्चय है तो                           n(A’ՍB’)=n(U)-n(AՈB) तथा n(A’ՈB’)=n(U)-n(AՍB)

·         यदि A, B  तथा C कोई तीन परिमित समुच्चय है तो-                                                             n(AՍBՍC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AՈB)-n(BՈC)-n(CՈA)+n(AՈBՈC)

·         यदि A, B  तथा C कोई तीन परिमित समुच्चय है तो- तीन समुच्चयो में से ठीक-ठीक दो अवयवो की संख्या=                 n(AՈB)+n(BՈC)+n(CՈA)-3n(AՈBՈC)

·         यदि A, B  तथा C कोई तीन परिमित समुच्चय है तो- तीन समुच्चयो में से ठीक-ठीक एक अवयव की संख्या=                n(A)+n(B)+n(C)-2n(AՈB)-2n(BՈC)-2n(CՈA)+3n(AՈBՈC)

उपरोक्त समीकरणो के कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं।

Example-1.

यदि समुच्चय A तथा B में क्रमशः 10 तथा 5 अवयव है तो (AՍB) में अवयवो की अधिकतम संख्या ज्ञात किजिए । (AՍB) में अवयवो की न्युनतम संख्या ज्ञात किजिए।

Solve-

दिया है-      n(A)=10    and        n(B)=5 हम जानते है कि-

n(AՍB)=n(A)+n(B)-n(AՈB)

n(AՍB) तभी अधिकतम होगा जब n(AՈB)=0 के होगा।

n(AՍB)=10+5-0=15 अतः (AՍB) में अवयवो की अधिकतम संख्या=15  है।

और n(AՍB) न्युनतम तभी होगा जब n(AՈB) अधिकतम होगा अर्थात् यदि n(AՈB)=5

तो n(AՍB)=10+5-5=10

 अतः (AՍB) में अवयवो की न्युनतम संख्या=10 होगा

Example-2.

एक स्कूल के 400 छात्रो के सर्वेक्षण में 100 छात्र सेब का रस ,150 छात्र संन्तरे का रस तथा 75 छात्र सेब व सन्तरे दोनो का रस पीने वाले पाये जाते हैं ज्ञात किजिए कि कितने छात्र न तो सेब का रस पीते हैं और न तो संन्तरे का ही?

Solve- माना U सर्वेक्षण किये गये छात्रो का समुच्चय हैं।

A=सेब का रस पीने वाले छात्रो का समुच्चय

B=संन्तरे का रस पीने वाले छात्रो का समुच्चय

तब- n(U)=400,        n(A)=100,               n(B)=150                                तथा n(AՈB)=75

यहाँ हमें n(A’ՈB’) ज्ञात करना है।

अतः अब         n(A’ՈB’)=n(AՍB)’=n(U)-n(AՈB)

                                                =n(U)-{n(A)+n(B)-n(AՈB)

                                                =400-(100+150-75)=225 अतः 225 छात्र न तो सेब का रस पीते है और न ही संन्तरे का रस पीते है।