अब आप ज्ञात कर सकते है 15 अंश, 15/2 अंश, 45/2 अंश , 18 अंश, 36 अंश , 54 अंश और 72 अंश का मान किसी भी त्रिकोणमिति अनुपात (Sin,Cos,Tan, Cosec,Sec,Cot) के लिए Best tricks of Trigonometry

Cos A, SinA तथा tanA के पदो में कोण A/2 के त्रिकोणमिति अनुपात

हम जानते है कि  CosA= 2Cos²(A/2)-1=1-2Sin²(A/2)

2Cos²(A/2)=1+CosA       तथा   2Sin²(A/2)=1-CosA

तो                 Cos(A/2)=√(1+CosA)/2        और    Sin(A/2)=√(1-CosA)/2

इसी प्रकार  tan(A/2)=Sin(A/2)/Cos(A/2)= {√(1-CosA)/2}/{√(1+CosA)/2}

tan(A/2)= √(1-CosA)/√(1+CosA)

उपरोक्त सूत्र 15 अंश , 15/2 अंश 45/2 अंश इत्यादि के त्रिकोणमिति अनुपात को प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

जैसे हमें  tan(45/2) का मान प्राप्त करना हो तो

उपरोक्त सूत्र का प्रयोग करेंगे

tan(A/2)= √(1-CosA)/√(1+CosA)

A=45 रखने पर

tan(45/2)= √(1-Cos45)/√(1+Cos45)

tan(45/2)= √(1-1/√2)/√(1+1/√2)  क्योकि  cos45  का मान 1/√2  होता है।

 अब tan(45/2)= √(1-1/√2)/√(1+1/√2)  को हल करने पर

इसलिए  tan(45/2)=(√2  - 1)/ (√2  + 1) होगा ।

कोण 18 अंश तथा 36 अंश के त्रिकोणमिति अनुपात

1. Cos72=Sin18=(√5  - 1) / 4
2. Sin54=Cos36=(√5  + 1) / 4
3. Sin72=Cos18=(√(10+2√5))  / 4
4. Cos54=Sin36=(√(10-2√5))  / 4
5. CosA . Cos2A . Cos2²A . Cos2³A ………Cos2^n-1 A=(Sin2ⁿ A)/2ⁿ . SinA  

                   Question With Solution  related to Trigonometry Ratios

 1.    16 sin 10° . sin 50° . sin 50^o . sin 70^o=1

हल-L.H.S.  = 16 sin 10^o .sin 30^o , sin 50^o . sin 70^o
= 8 sin 30^o . sin 10^o  . (2sin 70^o  . sin 50)
= 8 x ½ x sin 10 . { cos (70-50) – cos (70-50)}
= 4sin 10 ^o  .(cos 20^O-cos 120^O)
= 4 sin 10 ^O . [cos 20 ^O -{-1/2}]
= 4 sin 10 ^O . [cos 20 ^O + ½ ] = 4 sin 10 ^O x 2 cos 20 ^O +1/2
= 2(2cos 20 ^O . sin 10 ^O + sin 10 ^O)
= 2{sin (20 ^O +10 ^O)-sin (20 ^O -10 ^O) + sin 10 ^O }
= 2(sin 30 ^O -sin 10 ^O + sin 10 ^O)
= 2 sin 30 ^O = 2x1/2=1 = R.H.S.

2.    cos 20^o . cos 40^o . cos 60^o . cos 80^o = 1/16
हल- L.H.S. = cos 20 ^O . cos 40 ^O . cos 60 ^O . cos 80 ^O

= 1/2 cos 60 ^O . cos 80 ^O . ( 2 cos 40 ^O . cos 20 ^O )
= 1/2x1/2x cos 80 ^O . { cos (40 ^O +20 ^O) + cos (40 ^O -20 ^O)}
= 1/4 cos 80 ^O . (cos 60^o + cos 20^o )
=1/4 COS 80 ^O . [1/2 COS 20 ^O]
= COS 1/4[ ½ COS 80 ^O +COS 80 ^O . COS 20 ^O ]
= 1/8 COS 80 ^O + ¼ COS 80 ^O . COS 20 ^O
=1/8 COS 80 ^O +1/8 (2 COS 80 ^O +20 ^O) + COS (80 ^O -20 ^O)}
= 1/8 COS 80 ^O +1/8 (COS 100 ^O +COS 60 ^O)
= 1/8 COS 80 ^O +1/8[ COS (180 ^O -80 ^O)+1/2]
= COS 80 ^O + 1/8 [- COS 80 ^O +1/2]

= 1/8 COS 80 ^O -1/8 COS 80 ^O + 1/16 = 1/16 = R.H.S.