Set Theory in Hindi(समुच्चय सिध्दान्त भाग-7)

De-Morgan's Law(डिमोर्गन के नियम)-

यदि A और B एक समुच्चय हैं, तथा I एक Universal Set है तो

a.      (AՍB)^’=A’ՈB’

b.     (AՈB)^’=A’ՍB’

Proof of first rule of De-Morgan –

a.      (AՍB)^’=A’ՈB’

माना- A={1,2,3,4,5}   B={4,5,6,7,8} and    I={1,2,3,4,5,6,7,8,9}  than

A^’ को हम समुच्चय A का पूरक कहते हैं।

B^’ को हम समुच्चय B का पूरक कहते हैं।

(AՍB)^’ को हम समुच्चय (AՍB) का पूरक कहते हैं।

L.H.S

I-(AՍB)=(AՍB)^’    and  (AՍB)={1,2,3,4,5,6,7,8}      by using union rule

Than      (AՍB)^’={1,2,3,4,5,6,7,8,9}-{1,2,3,4,5,6,7,8}     by using difference rule

                         ={9}

R.H.S

A^’ =I-A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}-{1,2,3,4,5}={6,7,8,9}

B^’ =I-B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}-{4,5,6,7,8}={1,2,3,9}

Than           A’ՈB’={6,7,8,9}Ո{1,2,3,9}

={9}

L.H.S=R.H.S

इसी प्रकार हम डिमोर्गन के दुसरे नियम (AՈB)^’=A’ՍB’ को भी सिध्द कर सकते है।

De-morgan rule for three sets(तीन समुच्चयो के लिए डिमोर्गन नियम)-

De-morgan’s law-यदि कोई तीन समुच्चय A, B और Cहै तो De-morgan का नियम कुछ इस तरह से होता है

1.     A-(BՍC)=(A-B)Ո(A-C)             2. A-(BՈC)=(A-B)Ս(A-C)

पहले नियम का proof:           A-(BՍC)=(A-B)Ո(A-C)  

माना B={5,6,7,8}, A={1,2,3,4,5} and C={6,7,8,9} कुछ परिमित समुच्चय हैं।

L.H.S                    (BՍC)={5,6,7,8,9} than    A-(BՍC)={1,2,3,4}

अर्थात् left hand side में हमें {1,2,3,4} प्राप्त हुआ है इसी प्रकार right hand side को हल करने पर

R.H.S

(A-B)={1,2,3,4} and (A-C)={1,2,3,4,5} than (A-B)Ո(A-C)={1,2,3,4}

 अतः L.H.S तथा R.H.S दोनो भाग को हल करने पर दोनो तरफ {1,2,3,4} ही आया तो हम इस प्रकार कह सकते है कि A-(BՍC)=(A-B)Ո(A-C)  

इसी प्रकार हम इसके दुसरे नियम A-(BՈC)=(A-B)Ս(A-C) को भी सिध्द कर सकते हैं।

Symmerric difference of two sets (दो समुच्चयो का सममित अन्तर)-

यदि A और B दो समुच्चय है तो (A-B) तथा (B-A) के संघ समुच्चय को A और B का सममित अन्तर कहते हैं। इसे हम A⊕B अथवा A▲B प्रदर्शित करते है। और हम इसे A symmetric diffrence B पढ़ते है।

Example- माना A और B दो समुच्चय जिनके अवयव कुछ इस प्रकार है जैसे-

A={1,2,3,4,5} and B={4,5,6,7,8} than

A▲B=(A-B)Ս(B-A)={1,2,3,4,5}-{4,5,6,7,8}Ս{4,5,6,7,8}-{1,2,3,4,5}

={1,2,3}Ս{6,7,8}

={1,2,3,6,7,8}

यदि हम वेन आरेख A▲B का बनाये तो कुछ इस प्रकार होगा-

निम्नलिखित चित्र में सफेद भाग A▲B होगा।

Note- याद रहे कि दो समुच्चयो का सममित अन्तर में निम्नलिखित नियम भी हैं।

A▲A=Ф               तथा            A▲Ф=A

A▲B=B▲A,                  (A▲B)▲C=A▲(B▲C)