Trigonometry Part -1 (त्रिकोणमिति भाग -1) By Kamalesh Sir

TRIGONOMETRY( त्रिकोणमिति )

त्रिकोणमितिè गणित की वह शाखा जिसमें हम त्रिभुज के तीनो कोणो तथा भुजाओ के मापन के बारे में पढ़ते हैं। त्रिकोणमिति शब्द दो शब्दो से मिलकर बना है जिसमें इसके दो शब्द त्रिकोण तथा मिति है जिसमें त्रिकोण का अर्थ त्रिभुज से तथा मिति का अर्थ मापन से है

गणित की इस शाखा का प्रयोग हम वर्तमान में भुकम्प शास्त्र, अणु की अवस्था का वर्णन करने में, समुद्र में आने वाली ज्वार भाटा की ऊचाई ज्ञात करने में किया जाता है।

कोण (Angle)-

यदि कोई किरण (Ray)  OP है तो इस किरण OP को initial point (प्रारम्भिक बिन्दु) O के परितः OQ की स्थिति में लाया तो कोण POQ बनता है।

अतः कोण की परिभाषा हम इस प्रकार भी दे सकते है कि कोण ऐसी आकृति होती है जो किसी दी हुई किरणो को उसके initial point (प्रारम्भिक बिन्दु) के परितः घुमाने से बनता है।

कोण QOP में OP को प्रारम्भिक भुजा (Initial side) तथा OQ को अन्तिम भुजा (terminal side) कहते है।

Measure of an Angle (कोणो का माप)- किसी कोण की Initial side से terminal side तक की घुमाव की मात्रा ही कोण की माप कहलाती है।

कोणो के मापन में दो प्रकार के कोण बनते है।

11. धनात्मक कोण (Positive Angle)

22.ऋणात्मक कोण (Negative Angle)

Positive Angle-   जब कोण का मापन घड़ी के दिशा के विपरित होता है। तो कोण हमेंशा positive होता है।

Negative Angle- जब कोण का मापन घड़ी के दिशा में होता है। तो कोण हमेंशा negative होता है।

Systems of measurement of  Angles (कोणो को मापने की पध्दतिया)-

1. षष्टिक पध्दति अथवा ऑग्ल पध्दति (Sexagesimal System or English System)-
2. शातिक पध्दति अथवा फ्रांन्सीसी पध्दति (Centesimal System or French System)-
3. वृत्तीय पध्दति (Circular Method)-

  

1. षष्टिक पध्दति अथवा ऑग्ल पध्दति (Sexagesimal System or English System)-

इस पध्दति में एक समकोण को 90 बराबर भागो में बाटा जाता है। और प्रत्येक भाग को एक अंश अथवा एक डिग्री कहते हैं। इसे 1^o से प्रदर्शित करते हैं। और प्रत्येक अंश को 60 बराबर भागो में बाटा गया है। जिसमें प्रत्येक भाग को 1 मिनट या एक कला कहते हैं। इसे 1^’ से प्रदर्शित करते है। और एक मिनट को 60 भागो में बाटा गया है जिसमें प्रत्येक भाग को 1 सेकण्ड कहते है। इसे 1” से प्रदर्शित करते है।

अर्थात् 1 समकोण=90^o,      1^o=60^’                    और         1’=60”

2. शातिक पध्दति अथवा फ्रांन्सीसी पध्दति (Centesimal System or French System)-

इस पध्दति में एक समकोण को 100 बराबर भागो में बाटा जाता है। और प्रत्येक भाग को एक ग्रेड ( One Grade) कहते हैं। इसे 1^g से प्रदर्शित करते हैं। और प्रत्येक ग्रेड को 100 बराबर भागो में बाटा गया है। जिसमें प्रत्येक भाग को 1 मिनट या एक कला कहते हैं। इसे 1^’ से प्रदर्शित करते है। और एक मिनट को 100 भागो में बाटा गया है जिसमें प्रत्येक भाग को 1 सेकण्ड अथवा एक विकला कहते है। इसे 1” से प्रदर्शित करते है।

अर्थात् 1 समकोण=100^g,  1^g=100^’                                 और        1’=100”

3. वृत्तीय प्रध्दति (Circular System)-

इस प्रध्दति में कोण को मापने की इकाई रेडियन है जैसे किसी वृत्त में त्रिज्या (Radius) के बराबर लम्बाई वाले चाप के द्वारा उस वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण का माप 1 रेडियन होता है इसे कुछ इस तरह से प्रदर्शित करते हैं। 1^c

Note- वृत्त के किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण=चाप की लम्बाई/वृत्त की त्रिज्या  

इस कोण का मान रेडियन में आयेगा

Relation between Radians and Degrees

1 रेडियन=180/π  अंश = 57^o16’22” या 180^o=π रेडियन

Note-

·         रेडियन को अंश में बदलने के लिए रेडियन के मान में 180/ π का गुणा किया जाता है।

·         अंश को रेडियन में बदलने के लिए π/180 का गुणा किया जाता है

·         कोई कोण यदि रेडियन में व्यक्त है तो रेडियन लिखना आवश्यक नही होता है।

·         यदि किसी कोण के साथ कोई इकाई नही दी गयी है तो उस कोण की इकाई रेडियन मानी जाती है।