Set Theory Part-2 (समुच्चय सिद्धान्त भाग-2)

Representation of a  set  (समुच्चय का निरूपण)-

समुच्चय के निरूपण की मुख्यतः तीन विधियाँ हैं।

1.       Tabular method or Roster method (तालिका विधि या रोस्टर विधि)

2.       Property method or set builder method (गुण विधि या समुच्चय निर्माण विधि)

3.       Statement method (विवरण विधि)

Tabular method or Roster method (तालिका विधि या रोस्टर विधि)-

इस विधि के अंतर्गत समुच्चय के निर्धारण में समुच्चय के सभी अवयव को मझले कोष्ठक के अंदर रखते  है तथा समुच्चय के अवयव  को  अर्ध  विराम द्वारा अलग  करते  है ।

Example –

यदि S एक समुच्चय है तथा इसके अवयव 1,3,5,7,9 है तो हम इसे इस प्रकार निरूपित कर सकते हैं

S={1,3,5,7,9}

और यदि मान लिजिए MATHEMATICS शब्द का समुच्चय Z है तो इसे रोस्टर विधि में हम इस प्रकार लिख सकते हैं Z={M,A,T,H,E,I,C,S} ध्यान रहे इस विधि में समुच्चय के अवयव को हम दोबारा नही लिख सकते हैं।
क्योकी समुह हमेंशा सुस्पष्ट होना चाहिए

Property method or set builder method (गुण विधि या समुच्चय निर्माण विधि)-

इस विधि के अन्तर्गत समुच्चय को उनके गुणधर्म के अनुसार मझले कोष्टक में निरूपित किया जाता है।

Example –

यदि किसी समुच्चय A के सभी अवयव सम है तो हम उसे इस प्रकार लिख सकते है और उसका कोई स्वेच्छ अवयव x है तो-

A={x:x सम संख्या है } या A={x|x  सम संख्या है}

आइए कुछ और example  देखते है जैसे-

तीन से विभाज्य धन पूर्णांक संख्याओ का समुच्चय का गुण विधि-

{x:x=3n ,n धन पूर्णांक संख्या है }

Statement method (विवरण विधि)-

इस विधि के अनुसार समुच्चय को उसके विवरण के अनुसार मझले कोष्टक में लिख दिया जाता है।

जैसे-{ धनात्मक पूर्णांक संख्याओ का समुच्चय }, {धनात्मक पूर्ण वर्ग संख्याओ का समुच्चय } इत्यादि।

आइए समुच्चय के तीनो विधि को एक table  में देखते हैं ।

Tabular method	Property method	Statement method
{1,3,5,………….}	{x:x विषम संख्या है }	{ धन विषम संख्याओ का समुच्चय }
{2}	{x:x सम अभाज्य संख्या }	{ सम अभाज्य संख्याओ का समुच्चय }
{5,7}	{x:x अभाज्य संख्या 3<x<11 }	{ 3 से बडी तथा 11 से छोटी अभाज्य संख्याओ का समुच्चय }

Type of set (समुच्चय के प्रकार)-

    1.Null set (रिक्त समुच्चय)                                                     2.Finite set(परिमित समुच्चय)

3. Infinite set (अपरिमित समुच्चय)                 4.Equal set (समान समुच्चय)

5.Singleton set (एकल समुच्चय)                  6.Subset(उपसमुच्चय)

7.Proper subset(उचित उपसमुच्चय)

समुच्चय के प्रकार में इन बेसिक समुच्चय के अलावा कुछ विशेष समुच्चय होते हैं।

तो सबसे पहले इसके बारे में चर्चा करेंगे। विशेष समुच्चय के बारे में इसके बाद चर्चा करेंगे।

1.Null set (रिक्त समुच्चय)-

रिक्त समुच्चय ऐसे समुच्चय होते हैं जिसमें कोई अवयव की संख्या न हो, ऐसे समुच्चय रिक्त समुच्चय कहलाते हैं। रिक्त समुच्चय को फाई से प्रकट करते हैं। रिक्त समुच्चय को { } के रूप में लिखा जाता है।

Example-

• {x:x²=16, x एक विषम संख्या है} यह एक रिक्त समुच्चय है क्योकि इसमें कोई विषम संख्या नही है।

Note-ध्यान रहे की {0} और { Ф } रिक्त समुच्चय नही है क्योकि इसमें एक अवयव हैं।

तथा रिक्त समुच्चय अव्दितीय (unique) समुच्चय होते हैं।

Finite set (परिमित समुच्चय)-

ऐसे समुच्चय जिनके अवयवो की संख्या सिमित हो उन्हें परिमित समुच्चय कहतें हैं।

Example –  

·         {2,4,6,………………………..,30} , इसमें अवयवो की संख्या सिमित है।

·         { x:x साल के महीने}, क्योकि इसमें महीनो की संख्या 12 है।

Infinite set (अपरिमित समुच्चय)-

ऐसे समुच्चय जिनमें अवयवो की संख्या असिमित हो अपरिमित समुच्चय कहलाते हैं।

Example-

·         {1,3,5,………………………………..} ,एक विषम सख्याओ का समुच्चय जिसकी कोई सीमा नही है।

·         {x|x समतल में समांगी रेखाएँ}

·         {…………..-2,-1,0,1,2,…………………..},सभी पूर्णांको का समुच्चय एक अपरिमित समुच्चय है।

Equal set (समान समुच्चय)-

यदि दो समुच्चय ऐसे है कि दोनो के अवयव आपस में समान हो तो वे समुच्चय समान समुच्चय कहलाते हैं।

Example-

·         A={1,2,3,4,5}  and B={5,4,3,2,1} ये दोनो समुच्चय आपस में समान हैं। तो हम इनको ऐसे भी लिख सकते हैं।

A=B  या 3 ꜫ A और 3 ꜫ B

Singleton set (एकल समुच्चय)-

ऐसे समुच्चय जिनमें केवल एक ही अवयव हो एकल समुच्चय कहलाते हैं।

Example-

·         {x|x सम अभाज्य संख्या है} यह एक एकल समुच्चय है क्योकि 2 एक ऐसा अवयव है जो सम अभाज्य संख्या है।

·         A={0}

Subset and super set (उपसमुच्चय और अधिसमुच्चय)-

यदि दो समुच्चय A और B ऐसे है की A का प्रत्येक अवयव B  का भी अवयव है तो A को B  का उपसमुच्चय(subset) कहते हैं। तथा B को A का अधिसमुच्चय(superset) कहते हैं।

उपसमुच्चय के निरूपण- A⊆B

अधिसमुच्चय के निरूपण- B⊇A
Example-

·         A={1,2,3,4,5}  and B={1,2,3,4,5} अर्थात् 2⊆A and 2⊆B
Note-किसी समुच्चय में उपसमुच्चय की सख्या 2ⁿ के बराबर होती है n अवयवो की संख्या है।

Example:- A={a,b,c}

Number of Subset in Set A=2³ =8

Ф , {a},{b},{c},{a,b},{b,c},{c,a},{a,b,c}

Proper subset (उचित उपसमुच्चय)-

यदि दो समुच्चय A और B ऐसे समुच्चय हैं कि A का प्रत्येक अवयव B में हैं लेकिन A ,B के equal  नही है तो A को B का proper subset कहा जाता है।

उचित उपसमुच्चय के निरूपण- A⊂B

Example-

·         A={1,2,3,4,5} and B={1,2,3,4,5,6}  तब A⊂B
Note-किसी समुच्चय में उचित उपसमुच्चय की सख्या 2ⁿ के बराबर होती है n अवयवो की संख्या है।

क्योकि-

·        कोई समुच्चय स्वयः का उचित समुच्चय नही होता है

·        रिक्त समुच्चय (null set) Ф को हम किसी समुच्चय का उचित समुच्चय नही कहते हैं।